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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor NN a partir del cual todos los terminos a partir de dicho NN verifiquen que
h) an=n+5n+1a_{n}=\frac{n+5}{n+1} esté entre 0,9 y 1,1

Respuesta

Y ya casi terminamos! Ahora nuestra desigualdad es esta:

0.9<n+5n+1<1.1 0.9 < \frac{n+5}{n+1} < 1.1

Resolvemos cada desigualdad por separado:

Desigualdad 1: n+5n+1>0.9 \frac{n+5}{n+1} > 0.9

n+5>0.9(n+1)n + 5 > 0.9 (n+1)

n+5>0.9n+0.9n + 5 > 0.9n + 0.9

0.1n>−4.10.1n > -4.1

n>−41n > -41 

Cualquier nn natural es mayor a −41-41, asi que esta desigualdad se cumple siempre para todos los nn naturales. Vamos con la otra.

Desigualdad 2: n+5n+1<1.1 \frac{n+5}{n+1} < 1.1

n+5<1.1(n+1)n+ 5 < 1.1(n+1)

n+5<1.1n+1.1n + 5 < 1.1n + 1.1

0.1n>3.90.1 n > 3.9

n>39n > 39

Es decir, esta desigualdad se cumple siempre que nn sea mayor estricto que 3939. Por lo tanto, el primer nn natural que cumple ambas desigualdades es n=40n = 40. 
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