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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.3.
Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
h) $a_{n}=\frac{n+5}{n+1}$ esté entre 0,9 y 1,1
h) $a_{n}=\frac{n+5}{n+1}$ esté entre 0,9 y 1,1
Respuesta
Y ya casi terminamos! Ahora nuestra desigualdad es esta:
Reportar problema
$ 0.9 < \frac{n+5}{n+1} < 1.1 $
Resolvemos cada desigualdad por separado:
Desigualdad 1: $ \frac{n+5}{n+1} > 0.9 $
$n + 5 > 0.9 (n+1)$
$n + 5 > 0.9n + 0.9$
$0.1n > -4.1$
$n > -41$
Cualquier $n$ natural es mayor a $-41$, asi que esta desigualdad se cumple siempre para todos los $n$ naturales. Vamos con la otra.
Desigualdad 2: $ \frac{n+5}{n+1} < 1.1 $
$n+ 5 < 1.1(n+1)$
$n + 5 < 1.1n + 1.1$
$0.1 n > 3.9$
$n > 39$
Es decir, esta desigualdad se cumple siempre que $n$ sea mayor estricto que $39$. Por lo tanto, el primer $n$ natural que cumple ambas desigualdades es $n = 40$.